ប្រវត្តិសាស្រ្តនៃលេខនិងប្រព័ន្ធលេខប្រព័ន្ធកំណត់ទីតាំង (យ៉ាងខ្លី)

ប្រវត្តិនៃលេខនិងប្រព័ន្ធលេខដែលត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់យ៉ាងជិតស្និទ្ធដោយសារតែប្រព័ន្ធលេខនិងជាវិធីមួយនៃការកត់ត្រាគំនិតអរូបីបែបនេះដូចជាលេខ។ ប្រធានបទនេះមិនត្រូវបានអនុវត្តទាំងស្រុងទៅនឹងវិស័យនៃគណិតវិទ្យា, ដោយសារតែទាំងអស់នេះគឺជាផ្នែកសំខាន់មួយនៃវប្បធម៍របស់ប្រជាជនទាំងមូល។ ព្រោះនៅពេលដែលបានយល់ពីប្រវត្តិនៃលេខនិងប្រព័ន្ធលេខប៉ះលើទិដ្ឋភាពយ៉ាងខ្លីជាច្រើននៃប្រវត្តិសាស្រ្តនៃអរិយដែលបានបង្កើតពួកគេ។ ប្រព័ន្ធនេះត្រូវបានបែងចែកជា nonpositional ជាទូទៅវិជ្ជមាននិងការលាយបញ្ចូលគ្នា។ ពីជម្មើសជំនួសពួកគេគឺជាសាច់រឿងទាំងមូលនៃចំនួនលេខនិងប្រព័ន្ធចំនួន។ ប្រព័ន្ធទីតាំង - គឺថាតម្លៃតាងដោយលេខនៅក្នុងចំនួនកំណត់ត្រាអាស្រ័យលើទីតាំងរបស់ខ្លួន។ នៅក្នុងប្រព័ន្ធ nepozitsionnyh រៀងគ្នា, គ្មានការពឹងផ្អែកបែបនេះ។ មនុស្សលោកបានបង្កើតនិងប្រព័ន្ធចម្រុះ។

ការសិក្សានៃប្រព័ន្ធចំនួននៅក្នុងសាលារៀន

សព្វថ្ងៃនេះមេរៀន "ប្រវត្តិសាស្រ្តនៃចំនួនលេខនិងប្រព័ន្ធចំនួន" នឹងត្រូវបានប្រារព្ធឡើងនៅក្នុងថ្នាក់ទី 9 សម្រាប់ការពិតណាស់នៅក្នុងផ្នែកវិទ្យាសាស្រ្តកុំព្យូទ័រ។ សំខាន់បំផុតតម្លៃជាក់ស្តែងរបស់ខ្លួន - ដើម្បីរៀនបកប្រែតួលេខពីប្រព័ន្ធលេខមួយទៅមួយផ្សេងទៀត (ពិសេសពីទសភាគទៅជាប្រព័ន្ធគោលពីរ) ។ ទោះជាយ៉ាងណាប្រវត្តិនៃលេខនិងប្រព័ន្ធចំនួននេះគឺជាផ្នែកសំខាន់មួយនៃប្រវត្តិសាស្រ្តទាំងមូលហើយវានឹងបំពេញប្រធានបទនៃកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលានេះផងដែរ។ វាអាចធ្វើអោយប្រសើរឡើងនាពេលបច្ចុប្បន្ននេះផងដែរដែលជាវិធីសាស្រ្តពហុវិជ្ជាធ្វើការតស៊ូមតិ។ ជាផ្នែកមួយនៃការពិតណាស់ទូទៅនៃប្រវត្តិសាស្រ្តជាគោលការណ៍វាអាចត្រូវបានសិក្សាមិនត្រឹមតែជាប្រវត្តិសាស្រ្តនៃការអភិវឌ្ឍសេដ្ឋកិច្ច, ចលនាសង្គមនិងនយោបាយ, ក្រុមប្រឹក្សានិងសង្គ្រាមនោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងដើម្បីជាវិសាលភាពតូចមួយក្នុងប្រវត្តិសាស្រ្តនៃចំនួនលេខនិងប្រព័ន្ធលេខ។ 9 នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃថ្នាក់កុំព្យូទ័រនៅក្នុងករណីនេះអាចនឹងមាននៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃចំនួនលេខដែលបកប្រែពីប្រព័ន្ធមួយទៅប្រព័ន្ធមួយផ្សេងទៀតដើម្បីផ្តល់នូវចំនួនច្រើនមានទំហំធំនៃការឧទហរណ៍ពីសម្ភារៈបានសិក្សាពីមុន។ ប៉ុន្តែឧទាហរណ៍ទាំងនេះគឺមិនដោយគ្មានការរំភើប, ដូចដែលនឹងត្រូវបានបង្ហាញខាងក្រោម។

ការកើតនៃប្រព័ន្ធលេខ

វាជាការលំបាកណាស់ក្នុងការនិយាយថានៅពេលដែល, និងសំខាន់បំផុតនោះគឺរបៀបដែលមនុស្សរៀនដើម្បីរាប់ (គ្រាន់តែជាការវាមិនអាចទៅរួចទេដើម្បីដឹងថាសម្រាប់ការរកឃើញនៅពេលនិងសំខាន់បំផុតតើភាសាប្រភពដើម) ។ វាត្រូវបានគេស្គាល់ត្រឹមតែថាអរិយបុរាណទាំងអស់ដែលមានប្រព័ន្ធគណនីរបស់ពួកគេ, បន្ទាប់មក, ប្រវត្តិនៃលេខនិងប្រព័ន្ធលេខដែលមានប្រភពដើមនៅក្នុងពេលវេលា dotsivilizatsionnoe ។ ដុំថ្មនិងឆ្អឹងមិនអាចប្រាប់យើងពីអ្វីដែលបានកើតឡើងនៅក្នុងចិត្តរបស់មនុស្ស, និងប្រភពដែលបានសរសេរបានមិនបានបង្កើតនៅឡើយទេ។ ប្រហែលជាវិក័យប័ត្រដែលត្រូវការបុរសម្នាក់នៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃការផលិតឬច្រើននៅពេលក្រោយបាន, ក្នុងអំឡុងពេលបដិវត្តន៍យុគថ្មរំលីងពោលគឺការផ្លាស់ប្តូរទៅវិស័យកសិកម្មសម្រាប់ផ្នែកនៃដីវាលនេះ។ ទ្រឹស្តីណាមួយនៅលើប្រធានបទនេះនឹងត្រូវបានគ្មានមូលដ្ឋានស្មើភាពគ្នា។ ប៉ុន្តែការសន្មត់មួយចំនួននៅតែអាចត្រូវបានធ្វើដោយសិក្សាប្រវត្ដិនៃភាសានានា។

ដាននៃប្រព័ន្ធលេខបុរាណ

ប្រព័ន្ធនេះភាគច្រើនរាប់ចាប់ផ្តើមឡូជីខល - គណបក្សប្រឆាំងនៃគំនិតនៃ "មួយ" នេះ - "។ ច្រើន" ដោយសារតែវាជាការសមសម្រាប់យើងដែលនៅក្នុងភាសារុស្ស៊ីសម័យទំនើបគឺមានតែឯកវចនៈនិងពហុវចនៈ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងភាសាបុរាណជាច្រើនដែលវាជាពីរដើម្បីយោងទៅរឿងពីរផងដែរ។ វាបានកើតមាននៅក្នុងភាសាឥណ្ឌូអឺរ៉ុបជាលើកដំបូងដោយរួមបញ្ចូលទាំងប្រទេសរុស្ស៊ីបុរាណ។ ដូច្នេះប្រវត្តិនៃលេខនិងប្រព័ន្ធលេខនេះបានចាប់ផ្ដើមជាមួយការបំបែកនៃគំនិតនៃ "មួយ", "ពីរ", "ជាច្រើន" នេះ។ ទោះជាយ៉ាងណាប្រព័ន្ធលេខលម្អិតបន្ថែមទៀតត្រូវបានគេបង្កើតឡើងនៅក្នុងអរិយបុរាណបំផុតដែលត្រូវបានគេស្គាល់ដល់យើង។

តួលេខកំណត់ត្រា Mesopotamian

យើងត្រូវបានប្រើដើម្បីប្រព័ន្ធលេខគោលដប់។ នេះគឺជាការយល់: នៅក្នុងដៃនៃម្រាមដៃទាំង 10 នេះ។ ទោះជាយ៉ាងណា ប្រវត្តិនៃការកើតឡើងនៃចំនួនលេខ និងប្រព័ន្ធចំនួនបានឆ្លងកាត់ដំណាក់កាលលំបាកមួយ។ ប្រព័ន្ធលេខ Mesopotamian - sexagesimal ។ ដោយសារតែ 60 នាទីនិងមួយនាទីរហូតមកដល់ពេលនៅក្នុងមួយម៉ោង - 60 វិនាទី។ ដោយសារតែឆ្នាំនេះត្រូវបានបែងចែកដោយចំនួននៃខែជាច្រើននៃ 60 មួយ, និងមួយថ្ងៃត្រូវបានបែងចែកជាចំនួនដូចគ្នានៃម៉ោង។ ដំបូងវាគឺជានាឡិកាមួយ, នោះគឺ, ជារៀងរាល់មួយនៃពួកគេគឺ 1/12 នៃការពន្លឺថ្ងៃ (ក្នុងសម័យបច្ចុប្បន្នអ៊ីរ៉ាក់រយៈពេលរបស់វាគឺមិនមានការផ្លាស់ប្តូរណាស់) ។ មានតែច្រើននៅពេលក្រោយបានចាប់ផ្តើមកំណត់រយៈពេលនៃការរយៈពេលមួយម៉ោងនោះគឺមិនមែនព្រះអាទិត្យនិងបានបន្ថែមទៀតថា 12 ម៉ោងនៅពេលយប់។

វាជាការគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ថាសញ្ញាថតនៃប្រព័ន្ធ sexagesimal បើវាជាចំនួនទសភាគមួយ - មានតែពីរសញ្ញា (ដើម្បីយោងទៅមួយនិងដប់ប្រាំមួយឬហុកសិបមិនពោលគឺដប់) នេះបើតាមតួលេខដែលទទួលបានដោយត្រូវបានរួមបញ្ចូលគ្នារវាងសញ្ញាទាំងនេះ។ វាគឺជាការគួរឱ្យខ្លាចសូម្បីតែស្រមៃមើលថាតើវាលំបាកគឺដើម្បីសរសេរណាមួយដែល មានលេខធំ នៅក្នុងវិធីនេះ។

ប្រព័ន្ធលេខអេហ្ស៊ីបបុរាណ

និងរឿងនៃលេខក្នុងប្រព័ន្ធលេខគោលដប់, និងការប្រើប្រាស់រូបតំណាងច្រើនដើម្បីចង្អុលបង្ហាញចំនួនលេខដែលចាប់ផ្តើមជាមួយជនជាតិអេស៊ីបបុរាណ។ ពួកគេបានរួមបញ្ចូលគ្នាតួអក្សរដែលមានន័យថាមួយរយនាក់មួយពាន់ដប់ពាន់នាក់, រយពាន់នាក់និងដប់លានលានដុល្លារ, ដូច្នេះការចង្អុលបង្ហាញពីចំនួនដែលចង់បាន។ ប្រព័ន្ធមួយគឺមានភាពងាយស្រួលជាងការនាយទន្លេអឺប្រាដែលប្រើតែលេខពីរខ្ទង់។ ប៉ុន្តែនាងមានការកំណត់ច្បាស់: វាគឺជាការលំបាកក្នុងការកត់ត្រាចំនួននេះច្រើនជាងដប់លាននាក់។ ទោះជាយ៉ាងណា, អេហ្ស៊ីបបុរាណអរិយ, ដូចជាភាគច្រើននៃអរិយនៃពិភពលោកបុរាណលេខបែបនេះមិនត្រូវបានជួបប្រទះ។

អក្សរក្រិកក្នុងការកំណត់គណិតវិទ្យា

ប្រវត្តិសាស្រ្តនៃទស្សនវិជ្ជាអឺរ៉ុប, វិទ្យាសាស្រ្ត, ទស្សនៈនយោបាយ, និងមានច្រើនទៀតភាគច្រើនចាប់ផ្តើមនៅ hella សម័យបុរាណ ( "hella" - ដោយខ្លួនឯងមួយ, វាគឺចូលចិត្ត "ក្រិច" បានបង្កើតដោយពួករ៉ូម) ។ បង្កើតឡើងនៅក្នុងការរីកចំរើននេះត្រូវបានគេចំណេះដឹងគណិតវិទ្យា។ ចំនួននៃអក្សរដែលបានកត់ត្រាក្រិក។ បុគ្គលមានអក្សរមួយចំនួនពីគ្នា 1 ទៅ 9, ជារៀងរាល់ទសវត្សរ៍ 10 ទៅ 90 ពីគ្រប់រយពីនិងទៅ 900. 100 ពាន់ប៉ុណ្ណោះតាំងដោយលិខិតដូចគ្នាដូចជាអង្គភាពនេះប៉ុន្តែដោយមានសញ្ញាផ្សេងគ្នាជាប់នឹងលិខិតនេះ។ ប្រព័ន្ធនេះអនុញ្ញាតឱ្យតួលេខកាន់តែច្រើនបញ្ជាក់សិលាចារឹកខ្លី។

ប្រព័ន្ធលេខជាអ្នកស្នងតំណែងរបស់ Slavic នៅក្រិក

ប្រវត្តិនៃលេខនិងប្រព័ន្ធចំនួននេះនឹងមិនត្រូវបានបញ្ចប់ដោយគ្មានពាក្យមួយចំនួនអំពីការបុព្វបុរសរបស់យើង។ ស៊ីរីលីក, ដូចដែលយើងបានដឹងហើយថាវាត្រូវបានផ្អែកលើអក្ខរក្រមក្រិក, និងតួលេខស្លាវហេតុនេះហើយបានជាប្រព័ន្ធថតផងដែរត្រូវបានគេដែលមានមូលដ្ឋានលើដែលនិយាយភាសាក្រិកដែរ។ នៅទីនេះផងដែរ, អក្សរបុគ្គលនីមួយតំណាងឱ្យចំនួនពី 1 ទៅ 9, គ្នាដប់ 10 ទៅ 90 និងមួយគ្នារយពី 100 ទៅ 900. ប្រើតែអក្សរមិនក្រិកនិង Cyrillic ឬ Glagolitsa ។ មានផងដែរដែលជាលក្ខណៈពិសេសគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍: នៅក្នុងថ្វីបើការពិតដែលថាអត្ថបទក្រិកនៅពេលនោះនិង Slavic តាំងពីដើមដំបូងនៃប្រវត្តិសាស្រ្តរបស់ខ្លួនដែលបានសរសេរពីឆ្វេងទៅស្តាំលេខស្លាវត្រូវបានសរសេរដូចជាប្រសិនបើពីស្តាំទៅឆ្វេង, ដែលជាអក្សរទិសដៅរាប់ដាក់ទៅខាងស្ដាំនៃអក្សរទិសដៅអង្គភាពអក្សរនេះ តំណាងរាប់រយនាក់អក្សរទៅខាងស្តាំនៃកំណត់រាប់ហើយដូច្នេះនៅលើ។ d ។

ងាយស្រួលក្នុង attic

អ្នកវិទ្យាសាស្ដ្របានឈានដល់កម្ពស់ក្រិកអស្ចារ្យ។ ការសញ្ជ័យរ៉ូម៉ាំងមិនបានផ្អាកការសិក្សារបស់ពួកគេ។ ឧទាហរណ៍វិនិច្ឆ័យដោយភស្តុ, Aristarh Samossky 18 សតវត្សរ៍មុនលោក Copernicus បានបង្កើតឡើង heliocentric ប្រព័ន្ធនៃពិភពលោក។ នៅក្នុងការគណនាស្មុគ្រស្មាញទាំងអស់នេះអ្នកវិទ្យាសាស្ដ្របានជួយប្រព័ន្ធរបស់ពួកគេក្រិកនៃលេខសរសេរ។

ប៉ុន្តែសម្រាប់មនុស្សធម្មតាដូចជាពាណិជ្ជករ, ប្រព័ន្ធនេះគឺជាញឹកញាប់មានការលំបាកផងដែរ: ការប្រើប្រាស់វា, វាគឺជាការចាំបាច់ក្នុងការចងចាំដែលជាតម្លៃលេខនៃអក្សរ 27 (ជំនួសឱ្យតម្លៃលេខ 10 តួអក្សរដែលបង្រៀនសិស្សកម្រិតខ្ពស់) ។ ដោយសារតែមានជាប្រព័ន្ធដែលហៅថាបន្ទប់ជាប់ដំបូលសាមញ្ញ (Attica - តំបន់ប្រទេសក្រិកនៅពេលតែមួយគឺជាមេដឹកនាំក្នុងតំបន់នៅក្នុងទូទៅ, និងជាពិសេសក្នុងពាណិជ្ជកម្មសមុទ្រនៅក្នុងតំបន់ដែលជារដ្ឋធានីនៃ Attica គឺជាទីក្រុងអាតែនល្បី) ។ នៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ, អក្សរបុគ្គលដែលត្រូវបានកំណត់តែលេខមួយប្រាំដប់មួយរយ, មួយពាន់ដប់ពាន់នាក់។ សរុបចំនួនប្រាំមួយតួអក្សរ - ពួកគេគឺមានភាពងាយស្រួលជាច្រើនក្នុងការចងចាំនិងពាណិជ្ជករគណនាស្មុគ្រស្មាញពេកនៅតែមិនផលិត។

លេខរ៉ូម៉ាំង

និងប្រព័ន្ធចំនួន, និងប្រវត្តិសាស្រ្តនៃចំនួនលេខនៃរ៉ូមបុរាណនិងបានជាមូលដ្ឋានប្រវត្តិនៃវិទ្យាសាស្រ្តគឺការបន្តនៃប្រវត្តិសាស្រ្តក្រិកមួយ។ ក្នុងនាមជាប្រព័ន្ធមូលដ្ឋានត្រូវបានគេយកបន្ទប់ជាប់ដំបូល, គ្រាន់តែជាអក្សរក្រិកជំនួសឡាទីននិងបានបន្ថែមទៀតថាការកំណត់ដាច់ដោយឡែកមួយហាសិបប្រាំរយហត្ថ។ នៅក្នុងការគណនាស្មុគ្រស្មាញនេះក្នុង treatises របស់គាត់វិទ្យាសាស្រ្តបានបន្តផលិតកំណត់ត្រានៃប្រព័ន្ធក្រិកនៃអក្សរ 27 (ហើយពួកគេជាធម្មតាធ្វើ treatises សរសេរក្នុងក្រិក) ។

តួលេខរ៉ូម៉ាំងប្រព័ន្ធថតមិនអាចត្រូវបានហៅល្អឥតខ្ចោះណាស់។ ជាពិសេសវាគឺជាច្រើនបុព្វកាលជាងរុស្ស៊ីចាស់។ ប៉ុន្តែប្រវត្តិសាស្ត្រ, វានៅតែរស់បានដូចនៅអារ៉ាប់ (ដែលគេហៅថា) តួលេខមួយ។ និងចងចាំប្រព័ន្ធជម្រើសនេះវាគឺជាការមិនចាំបាច់ដើម្បីបញ្ឈប់ការប្រើវា។ ជាពិសេសនេះត្រូវបានតាងជាញឹកញាប់ដោយលេខអារ៉ាប់ តួលេខខា, និងរ៉ូម៉ាំង - លំដាប់។

ការបង្កើតរបស់ឥណ្ឌាបុរាណមហា

តួលេខដែលយើងប្រើសព្វថ្ងៃនេះ, ដើមឡើយបានបង្ហាញខ្លួននៅក្នុងប្រទេសឥណ្ឌា។ វាត្រូវបានគេស្គាល់នៅពេលដែលរឿងរ៉ាវមិនបានលេខនិងប្រព័ន្ធនៃការដែលបានធ្វើការផ្លាស់ប្តូរចំនួនដែលគួរឱ្យកត់សម្គាល់នេះប៉ុន្តែទំនងជាមិនត្រូវយឺតជាងសតវត្សរ V បន្ទាប់ពីព្រះគ្រីស្ទ។ ជាញឹកញាប់វាបានសង្កត់ធ្ងន់ថាវាត្រូវបានប្រជាជនឥណ្ឌាបានបង្កើតគំនិតនៃសូន្យ។ គំនិតនេះត្រូវបានគេស្គាល់ថាដើម្បីគណិតវិទូនិងអារ្យផ្សេងទៀតនោះទេប៉ុន្តែវាជាការពិតជាគ្រាន់តែប្រព័ន្ធអនុញ្ញាតឱ្យប្រជាជនឥណ្ឌាដើម្បីរួមបញ្ចូលយ៉ាងពេញលេញនៅក្នុងការកំណត់គណិតវិទ្យាហេតុដូចនេះហើយក្នុងការគណនា។

ការចែកចាយនៃប្រព័ន្ធឥណ្ឌាលេខនៅលើផែនដី

សន្មតរដ្ឋសភាក្នុងសតវត្សទីតួលេខឥណ្ឌាបានខ្ចីពួកអារ៉ាប់។ ខណៈពេលដែលអឺរ៉ុបទិតៀនបេតិកភណ្ឌបុរាណនិងនៅតំបន់មួយចំនួននៅពេលតែមួយទោះបីជាមានចេតនាបំផ្លាញវាជាសមិទ្ធផលមានតម្លៃធ្វើឱ្យច្បាស់លាស់មិនជឿនៃការក្រិកបុរាណនិងរ៉ូម។ តាំងពីដំបូងនៃការសញ្ជ័យរបស់ពួកគេបានក្លាយជាទំនិញក្តៅនៃការបកប្រែបុរាណទៅជាភាសាអារ៉ាប់អ្នកនិពន្ធ។ ជាចម្បងតាមរយៈខិត្ដប័ណ្ណរបស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រអឺរ៉ុបមជ្ឈិមសម័យវិញអារ៉ាប់បេតិកភ័ណ្ឌរបស់ទស្សនវិទូបុរាណ។ រួមជាមួយនឹងការទាំងនេះបានចូលមកនិងបាន treatises លេខឥណ្ឌាដែលបានក្លាយជាគេស្គាល់ថាជាអារ៉ាប់នៅអឺរ៉ុប។ ពួកគេមិនត្រូវបានទទួលយកភ្លាមព្រោះមនុស្សភាគច្រើនត្រូវបានគេបញ្ជាក់យ៉ាងច្បាស់តិចជាងរ៉ូម។ ប៉ុន្តែបន្តិចម្តងបន្ធូរបន្ថយការគណនាគណិតវិទ្យាដោយប្រើសញ្ញានៃការល្ងង់ខ្លៅទទួលជ័យជម្នះទាំងនេះ។ ភាពជាអ្នកដឹកនាំនៃបណ្តាប្រទេសឧស្សាហកម្មអឺរ៉ុបបាននាំឱ្យមានការពិតដែលថាលេខអារ៉ាប់ដែលគេហៅថារីករាលដាលនៅជុំវិញពិភពលោកនិងត្រូវបានគេប្រើឥឡូវនេះស្ទើរតែជាសកលនេះ។

ប្រព័ន្ធលេខគោលពីរនៃកុំព្យូទ័រទំនើប

ជាមួយនឹងវត្តមាននៃកំព្យូទ័រជាបន្តបន្ទាប់បានធ្វើជាមួយតំបន់ជាច្រើននៃជំនាញវេនសំខាន់។ គឺមិនមានប្រវត្តិសាស្រ្តករណីលើកលែងនៃការលេខនិងប្រព័ន្ធចំនួន។ រូបថតនៃកុំព្យូទ័រដំបូង bears resemblance តិចតួចទៅឧបករណ៍សម័យទំនើប, ម៉ូនីទ័រអ្នកកំពុងអានអត្ថបទនេះនោះទេប៉ុន្តែការងាររបស់ពួកគេទាំងពីរនេះគឺមានមូលដ្ឋានលើ ប្រព័ន្ធគោលពីរ កំណត់កូដនេះមានតែមួយគត់នៃសូន្យនិងមួយ។ ទោះជាយ៉ាងណានៅតែគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលសម្រាប់ចំណេះដឹងសាមញ្ញថាជាមួយនឹងការរួមបញ្ចូលគ្នានៃតែពីរតួអក្សរ (ពិតជាសញ្ញាឬកង្វះនៃការវា) មួយដែលអាចផលិតបានគណនាស្មុគ្រស្មាញយ៉ាងខ្លាំងនិងដោយស្វ័យប្រវត្តិ (ប្រសិនបើកម្មវិធីដែលត្រូវគ្នា) បកប្រែចំនួននៅក្នុងប្រព័ន្ធលេខគោលដប់ទៅលេខនៅក្នុងគោលពីរប្រព័ន្ធគោលដប់ប្រាំមួយ, shestidesyatishestirichnoy និងប្រព័ន្ធផ្សេងទៀតណាមួយ។ និងដោយមានជំនួយបែបមួយ កូដប្រព័ន្ធគោលពីរ នៅលើអេក្រង់ដែលបានបង្ហាញអត្ថបទមួយនេះដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីប្រវត្តិសាស្រ្តនៃលេខនិងប្រព័ន្ធលេខសម្រាប់ដើមបណ្តឹផ្សេងគ្នានៅក្នុងប្រវត្តិសាស្រ្ត។